Hiểu biết thêm với GS Huỳnh Chiếu Đẳng

Kính thưa các bạn

Hôm nay chúng ta gom lại những email giải đáp Bài toán “Tôn Tử Điểm Binh” do anh Vũ Xuân Hoài đưa ra (Cho anh xin số nhà) của các bằng hữu gạo cội.

1. Nhưng trước tiên là bài toán nhỏ của anh Thái: “nếu ta có con số 3, con số 1, con số 0 và dấu cộng thì ta đặt làm sao  cho có kết quả là số 2”

2. Các lởi giải đáp của anh Quang Nguyen, Nguyễn Văn Đạt, Huỳnh Thiện N8ang (đồng nghiệp của tôi).

3. Cuối cùng là giải thích của anh Vũ Xuân Hoài.

HCD 17-May-2022

Có hai attachment

-------------

Tôi giữ nguyên cách layout của các email bên dưới.

HCD: Cám ơn tất cả các bạn.

<!>

From: d n <66ring1 @_ gmail .com>

Sent: Sunday, May 15, 2022 3:13 SA

To: huy017 <huy017 @_ juno.com>

Subject: Re: [quanvenduong] FW: Vai ban nhac ngay le Me, duoc thao, tin thu hoi thuoc xuong mau, cau do co dien

Kính thưa anh,

Xin trả lời câu hỏi chó và gà : 61 con chó và và 21 con gà  thì sẽ có 286 chân.

Tiện đây xin nhắc lại câu hỏi của tôi :

nếu ta có con số 3, con số 1, con số 0 và dấu cộng thì ta đặt làm sao  cho có kết quả là số 2.

 cảm ơn anh rất nhiều .

Thái

David Newland

HCD: Cám ơn anh Thái, bài toán ngắn “nếu ta có con số 3, con số 1, con số 0 và dấu cộng thì ta đặt làm sao  cho có kết quả là số 2” tới bây giờ tôi chưa nghĩ ra.

-------------------

From: Quang Nguyen <quang92117 @_ gmail .com>

Sent: Saturday, May 14, 2022 11:24 CH

To: HCD j <huy017 @_ juno.com>

Subject: Giải bài toán số nhà với số học số thặng dư (gởi lại)

Thưa anh tôi gõ sai .  Xin gởi lại 65 x 11 = 715 

Thưa anh,

Số học số thặng dư ngày nay có nhiều áp dụng lắm.  Sức khỏe tôi không tốt nhưng ráng thử làm. Sau đây là giải đáp

------------

x=a2 (mod m1)

x=a2 (mod m2)

x=a3 (mod m3)

trong đó:

a1 = 5, a2=13, a3 = 17

(mod m1) = 1, (mod m2) = 10, (mod m3) = 8

Gọi:

M= a1.a2.a3= 1105

M1= a2.a3= 221, M2=a1.a3=85, M3=a1.a2=65

Ta có:

x = M1(mod m1)y1 + M2(mod m2)y2 +M3(mod m3)y3 +k.1105

x = 221(1)y1 + 85(10)y2 +65(8)y3 +k.1105    (1)

Trong đó y1, y2, y3 là các số tự nhiên nhỏ nhất phải tìm để có bội số của 5, 13, 17.  Kết quả y1=1, y2=2, y3=11.

Thay y1, y2, y3 vào x ở (1):

x = 221(1)+ 85(10)(2) +65(8)(11) +k.1105   

x = 221+ 170(10)+715(8)+k.1105

x = 221+ 170(10)+715(8)+k.1105

x = 7641+k.1105

Chia 7601 cho 1105, số thặng dư là 1011

Vì x < 2000:

x = 1011+k.1105

Chọn kết quả x = 1011 với k =0

 -------------------

From: Nguyen Van Dat <nguyenvdat @_ gmail .com>

Sent: Sunday, May 15, 2022 8:54 SA

To: Nguyenvdat @_ gmail .com

Subject: Câu Đố Tìm Nhà Người Đẹp (lời giải)

Câu Đố: 

 Trong một bữa tiệc, một thanh niên lạ mặt tán tỉnh một cô gái đẹp tuyệt trần và mời cô ta đi chơi.

 Cô gái thản nhiên trả lời:

"Anh có thể đến đón tôi tại nhà tôi, ngày thứ Bảy tuần này, lúc 6 giờ chiều.

Nhà của tôi trên đại lộ ABC, số nhà nhỏ hơn 2000. 

Nếu đem số nhà chia cho 5 thì dư 1,

 đem chia cho 13 thì dư 10, và 

đem chia cho 17 thì dư 8.  

Hy vọng sẽ được hân hạnh đi dạo phố với anh ngày thứ Bảy sắp đến."   

Có ai giúp được anh chàng này tìm ra số nhà của tiên nữ trên đại lộ ABC không? 

Một trong những cách giải bài nầy là áp dụng Định Lý Đồng Dư (Congruence Theorem) của  nhà toán học Carl Fredrick Gauss như trong bài toán “Hàn Tín Điểm Binh” ở đây:

https://lasourisagile.wordpress.com/2020/03/11/may-mo-giai-toan/

Anh Vũ Xuân Hoài đã giải bài toán nầy bằng cách trên.

Định Lý Đồng Dư nói trên là thuộc về môn Số Học Mô Đun (Modular Arithmetic) mà có lẽ ít người biết đến.

Những ai tò mò thì có thể tìm hiểu thêm về môn học nầy ở đây:

Số học mô đun – Wikipedia tiếng Việt

Modular arithmetic - Wikipedia 

Cách giải trên có lẽ khó hiểu đối với hầu hết mọi người, dưới đây lời giải được trình bày một cách khác, hy vọng sẽ dễ hiểu hơn:

Nếu gọi số nhà của người đẹp là X thì chúng ta có 4 điều kiện:

1.   0 < X < 2000.

2.   (X -1) chia chẵn cho 5.   ký hiệu toán học: X = 1, (mod 5)

3.   (X-10) chia chẵn cho 13.  x = 10, (mod 13)

4.   (X-8) chia chẵn cho 17.   x = 8, (mod 17)

Vì (X-1) chia chẵn cho 5 nên số cuối của X phải là 1 hoặc 6.                                                                                                                              

Bây giờ chúng ta có hai trường hợp: 

Trường hợp 1: Số cuối của X là 1, vậy số cuối của  (X-8) là 3.

(X-8) là bội số của 17 mà phải có số tận cùng là 3 thì các bội số phải tận cùng bằng số 9, (vì 9*7=63), nghĩa là 9, 19, 29, 39, ... 109.

Nghĩa là  (X-8) = 17*9 hoặc là 17*19 hoặc là 17*29 ... hoặc là 17*109.

Như vậy X chỉ có thể là một trong các số sau đây:

161, 331, 501, 671, 841, 1011, 1181, 1351, 1521. 1691, và 1861.

Trường hợp 2: Số cuối của X là 6, vậy số cuối của  (X-8) là 6.

(X-8) là bội số của 17 mà phải có số tận cùng là 8 thì các bội số phải tận cùng bằng số 4, (vì 4*7=28), nghĩa là 4, 14, 24, 34, ... 114.

Nghĩa là  (X-8) = 17*4 hoặc là 17*14 hoặc là 17*24 ... hoặc là 17*114

Như vậy X chỉ có thể là một trong các số sau đây:

76, 246. 416, 586, 756, 926, 1096, 1266, 1436,1606, 1776, 1946.

Trong các số in đậm trên, duy nhất chỉ có số 1011 là thỏa mãn điều kiện “chia cho 13 thì dư 10 ”.

Như vậy 1011 là đáp số duy nhất. 

Anh Nguyễn Lương Duyên là người đã giải thích cặn kẻ lời giải nầy.

Anh Huỳnh Thiện Năng, mặc dù không thấy giải thích nhưng tờ Exel Spread Sheet của anh đã tính đúng như các con số nêu trên.

Bạn Nguyễn Tùng Buông có một nhận xét rất tinh tế như sau: 

“ Nếu anh chàng nầy có đi học một course viết program thì dễ như cơm sườn.

Program chỉ cần 5 phút, viết độ 10 dòng, trong đó có một LOOP (1 to 2000)  và 3 cái IF.

Đi chơi với người đẹp dễ quá phải không ! “ 

-------------------

From: nang huynh <nlehuynh @_ yahoo.com>

Sent: Sunday, May 15, 2022 1:37 CH

To: Huy017 <huy017 @_ juno.com>

Subject: Excel lấy mất niềm vui

Anh Đẳng mến

Trọn vẹn giải bằng Excel vỏ́i cách test số nguyên ̣MOD và điều kiện AND

Bắt đầu vỏ́i bội số của 17 tiến tỏ́i 2000 nhanh hỏn

Thế là hết vui rồi !!!!

May mà anh Hoài chỉ cho tỏ́i số 2000, nếu là 1 triệu chắc kéo chuột mệt nghỉ

Tôi kèm theo file ỏ̉ cuối email

Chúc Anh Chị và các cháu mạnh khoẻ

 

a	17a	x=17a+8		x-10	(x-10)/13	Test 1	x-1	(x-1)/5	Test 2	Test 3	Answer at row "1"
1	17	25		15	1.153846	FALSE	24	4.8	FALSE	FALSE	0
2	34	42		32	2.461538	FALSE	41	8.2	FALSE	FALSE	0
3	51	59		49	3.769231	FALSE	58	11.6	FALSE	FALSE	0
4	68	76		66	5.076923	FALSE	75	15	TRUE	FALSE	0
5	85	93		83	6.384615	FALSE	92	18.4	FALSE	FALSE	0
6	102	110		100	7.692308	FALSE	109	21.8	FALSE	FALSE	0
7	119	127		117	9	TRUE	126	25.2	FALSE	FALSE	0
8	136	144		134	10.30769	FALSE	143	28.6	FALSE	FALSE	0
9	153	161		151	11.61538	FALSE	160	32	TRUE	FALSE	0
10	170	178		168	12.92308	FALSE	177	35.4	FALSE	FALSE	0
11	187	195		185	14.23077	FALSE	194	38.8	FALSE	FALSE	0
12	204	212		202	15.53846	FALSE	211	42.2	FALSE	FALSE	0
13	221	229		219	16.84615	FALSE	228	45.6	FALSE	FALSE	0
14	238	246		236	18.15385	FALSE	245	49	TRUE	FALSE	0
15	255	263		253	19.46154	FALSE	262	52.4	FALSE	FALSE	0
16	272	280		270	20.76923	FALSE	279	55.8	FALSE	FALSE	0
17	289	297		287	22.07692	FALSE	296	59.2	FALSE	FALSE	0
18	306	314		304	23.38462	FALSE	313	62.6	FALSE	FALSE	0
19	323	331		321	24.69231	FALSE	330	66	TRUE	FALSE	0
20	340	348		338	26	TRUE	347	69.4	FALSE	FALSE	0
21	357	365		355	27.30769	FALSE	364	72.8	FALSE	FALSE	0
22	374	382		372	28.61538	FALSE	381	76.2	FALSE	FALSE	0
23	391	399		389	29.92308	FALSE	398	79.6	FALSE	FALSE	0
24	408	416		406	31.23077	FALSE	415	83	TRUE	FALSE	0
25	425	433		423	32.53846	FALSE	432	86.4	FALSE	FALSE	0
26	442	450		440	33.84615	FALSE	449	89.8	FALSE	FALSE	0
27	459	467		457	35.15385	FALSE	466	93.2	FALSE	FALSE	0
28	476	484		474	36.46154	FALSE	483	96.6	FALSE	FALSE	0
29	493	501		491	37.76923	FALSE	500	100	TRUE	FALSE	0
30	510	518		508	39.07692	FALSE	517	103.4	FALSE	FALSE	0
31	527	535		525	40.38462	FALSE	534	106.8	FALSE	FALSE	0
32	544	552		542	41.69231	FALSE	551	110.2	FALSE	FALSE	0
33	561	569		559	43	TRUE	568	113.6	FALSE	FALSE	0
34	578	586		576	44.30769	FALSE	585	117	TRUE	FALSE	0
35	595	603		593	45.61538	FALSE	602	120.4	FALSE	FALSE	0
36	612	620		610	46.92308	FALSE	619	123.8	FALSE	FALSE	0
37	629	637		627	48.23077	FALSE	636	127.2	FALSE	FALSE	0
38	646	654		644	49.53846	FALSE	653	130.6	FALSE	FALSE	0
39	663	671		661	50.84615	FALSE	670	134	TRUE	FALSE	0
40	680	688		678	52.15385	FALSE	687	137.4	FALSE	FALSE	0
41	697	705		695	53.46154	FALSE	704	140.8	FALSE	FALSE	0
42	714	722		712	54.76923	FALSE	721	144.2	FALSE	FALSE	0
43	731	739		729	56.07692	FALSE	738	147.6	FALSE	FALSE	0
44	748	756		746	57.38462	FALSE	755	151	TRUE	FALSE	0
45	765	773		763	58.69231	FALSE	772	154.4	FALSE	FALSE	0
46	782	790		780	60	TRUE	789	157.8	FALSE	FALSE	0
47	799	807		797	61.30769	FALSE	806	161.2	FALSE	FALSE	0
48	816	824		814	62.61538	FALSE	823	164.6	FALSE	FALSE	0
49	833	841		831	63.92308	FALSE	840	168	TRUE	FALSE	0
50	850	858		848	65.23077	FALSE	857	171.4	FALSE	FALSE	0
51	867	875		865	66.53846	FALSE	874	174.8	FALSE	FALSE	0
52	884	892		882	67.84615	FALSE	891	178.2	FALSE	FALSE	0
53	901	909		899	69.15385	FALSE	908	181.6	FALSE	FALSE	0
54	918	926		916	70.46154	FALSE	925	185	TRUE	FALSE	0
55	935	943		933	71.76923	FALSE	942	188.4	FALSE	FALSE	0
56	952	960		950	73.07692	FALSE	959	191.8	FALSE	FALSE	0
57	969	977		967	74.38462	FALSE	976	195.2	FALSE	FALSE	0
58	986	994		984	75.69231	FALSE	993	198.6	FALSE	FALSE	0
59	1003	1011		1001	77	TRUE	1010	202	TRUE	TRUE	1
60	1020	1028		1018	78.30769	FALSE	1027	205.4	FALSE	FALSE	0
61	1037	1045		1035	79.61538	FALSE	1044	208.8	FALSE	FALSE	0
62	1054	1062		1052	80.92308	FALSE	1061	212.2	FALSE	FALSE	0
63	1071	1079		1069	82.23077	FALSE	1078	215.6	FALSE	FALSE	0
64	1088	1096		1086	83.53846	FALSE	1095	219	TRUE	FALSE	0
65	1105	1113		1103	84.84615	FALSE	1112	222.4	FALSE	FALSE	0
66	1122	1130		1120	86.15385	FALSE	1129	225.8	FALSE	FALSE	0
67	1139	1147		1137	87.46154	FALSE	1146	229.2	FALSE	FALSE	0
68	1156	1164		1154	88.76923	FALSE	1163	232.6	FALSE	FALSE	0
69	1173	1181		1171	90.07692	FALSE	1180	236	TRUE	FALSE	0
70	1190	1198		1188	91.38462	FALSE	1197	239.4	FALSE	FALSE	0
71	1207	1215		1205	92.69231	FALSE	1214	242.8	FALSE	FALSE	0
72	1224	1232		1222	94	TRUE	1231	246.2	FALSE	FALSE	0
73	1241	1249		1239	95.30769	FALSE	1248	249.6	FALSE	FALSE	0
74	1258	1266		1256	96.61538	FALSE	1265	253	TRUE	FALSE	0
75	1275	1283		1273	97.92308	FALSE	1282	256.4	FALSE	FALSE	0
76	1292	1300		1290	99.23077	FALSE	1299	259.8	FALSE	FALSE	0
77	1309	1317		1307	100.5385	FALSE	1316	263.2	FALSE	FALSE	0
78	1326	1334		1324	101.8462	FALSE	1333	266.6	FALSE	FALSE	0
79	1343	1351		1341	103.1538	FALSE	1350	270	TRUE	FALSE	0
80	1360	1368		1358	104.4615	FALSE	1367	273.4	FALSE	FALSE	0
81	1377	1385		1375	105.7692	FALSE	1384	276.8	FALSE	FALSE	0
82	1394	1402		1392	107.0769	FALSE	1401	280.2	FALSE	FALSE	0
83	1411	1419		1409	108.3846	FALSE	1418	283.6	FALSE	FALSE	0
84	1428	1436		1426	109.6923	FALSE	1435	287	TRUE	FALSE	0
85	1445	1453		1443	111	TRUE	1452	290.4	FALSE	FALSE	0
86	1462	1470		1460	112.3077	FALSE	1469	293.8	FALSE	FALSE	0
87	1479	1487		1477	113.6154	FALSE	1486	297.2	FALSE	FALSE	0
88	1496	1504		1494	114.9231	FALSE	1503	300.6	FALSE	FALSE	0
89	1513	1521		1511	116.2308	FALSE	1520	304	TRUE	FALSE	0
90	1530	1538		1528	117.5385	FALSE	1537	307.4	FALSE	FALSE	0
91	1547	1555		1545	118.8462	FALSE	1554	310.8	FALSE	FALSE	0
92	1564	1572		1562	120.1538	FALSE	1571	314.2	FALSE	FALSE	0
93	1581	1589		1579	121.4615	FALSE	1588	317.6	FALSE	FALSE	0
94	1598	1606		1596	122.7692	FALSE	1605	321	TRUE	FALSE	0
95	1615	1623		1613	124.0769	FALSE	1622	324.4	FALSE	FALSE	0
96	1632	1640		1630	125.3846	FALSE	1639	327.8	FALSE	FALSE	0
97	1649	1657		1647	126.6923	FALSE	1656	331.2	FALSE	FALSE	0
98	1666	1674		1664	128	TRUE	1673	334.6	FALSE	FALSE	0
99	1683	1691		1681	129.3077	FALSE	1690	338	TRUE	FALSE	0
100	1700	1708		1698	130.6154	FALSE	1707	341.4	FALSE	FALSE	0
101	1717	1725		1715	131.9231	FALSE	1724	344.8	FALSE	FALSE	0
102	1734	1742		1732	133.2308	FALSE	1741	348.2	FALSE	FALSE	0
103	1751	1759		1749	134.5385	FALSE	1758	351.6	FALSE	FALSE	0
104	1768	1776		1766	135.8462	FALSE	1775	355	TRUE	FALSE	0
105	1785	1793		1783	137.1538	FALSE	1792	358.4	FALSE	FALSE	0
106	1802	1810		1800	138.4615	FALSE	1809	361.8	FALSE	FALSE	0
107	1819	1827		1817	139.7692	FALSE	1826	365.2	FALSE	FALSE	0
108	1836	1844		1834	141.0769	FALSE	1843	368.6	FALSE	FALSE	0
109	1853	1861		1851	142.3846	FALSE	1860	372	TRUE	FALSE	0
110	1870	1878		1868	143.6923	FALSE	1877	375.4	FALSE	FALSE	0
111	1887	1895		1885	145	TRUE	1894	378.8	FALSE	FALSE	0
112	1904	1912		1902	146.3077	FALSE	1911	382.2	FALSE	FALSE	0
113	1921	1929		1919	147.6154	FALSE	1928	385.6	FALSE	FALSE	0
114	1938	1946		1936	148.9231	FALSE	1945	389	TRUE	FALSE	0
115	1955	1963		1953	150.2308	FALSE	1962	392.4	FALSE	FALSE	0
116	1972	1980		1970	151.5385	FALSE	1979	395.8	FALSE	FALSE	0
117	1989	1997		1987	152.8462	FALSE	1996	399.2	FALSE	FALSE	0
118	2006	2014		2004	154.1538	FALSE	2013	402.6	FALSE	FALSE	0

 

-------------------

From: Quang Nguyen <quang92117 @_ gmail .com>

Sent: Sunday, May 15, 2022 3:15 CH

To: HCD j <huy017 @_ juno.com>

Subject: Giải đáp bài toán số nhà 

Thưa anh,

Đây là bài sửa lại lần cuối.  Anh có thể để trong QVD để anh em góp ý. Các vị trí con số tôi đã để đúng theo link tôi gởi anh trước kia. Tìm y1, y2, y3  thì tôi nghiên cứu thêm cách dễ hơn link hôm trước. 

x=a2 (mod m1)

x=a2 (mod m2)

x=a3 (mod m3)

trong đó:

m1 = 5,  m2=13,  m3 = 17

a1 = 1,  a2 = 10,  a3 = 8

Gọi:

M= m1.m2.m3= 1105

M1= m2.m3= 221,   M2=m1.m3=85,   M3=m1.m2=65

Ta có:

x = M1.y1.a1 + M2.y2.a2 +M3.y3.a3  + k.1105

x = 221.y1.(1) + 85.y2.(10) +65.y3.(8) + k.1105    (1)

Trong đó y1, y2, y3 là các số tự nhiên nhỏ nhất phải tìm sao cho 221.y1 - 1, 85.y2 - 1, 65.y3 - 1 theo thứ tự phải chia chẵn cho 5, 13, 17. Do đó, ta tìm được y1=1, y2=2, y3=11 (220 chia hết cho 5, 169 chia hết cho 13, 714 chia hết cho 17)

Thay y1, y2, y3 vào x ở (1):

x = 221.(1).(1)+ 85.(2).(10) +65.(11).(8) +k.1105   

x = 221.(1)+ 170.(10)+715.(8)+ k.1105

x = 221+ 1700+5720 + k.1105

x = 7641+k.1105

Chia 7641 cho 1105, ta sẽ có số thặng dư là 1011 và nó là số nhỏ nhất trong trị số của x như sau:

x = 1011+k.1105             (k là số nguyên 0, 1, 2, 3, ... )

Vì x < 2000, ta chọn k = 0 và  kết quả là x = 1011

===============

From: Hoai Vu <hoa i.hvu@ gm  ail.com>

Date: 5/13/22 2:28 PM (GMT-08:00)

To: "HCD G." <hu y017@ gmail.com>

Subject: Re: [quanvenduong] FW: Internet Service Provider gia re, giai dap cau do hom qua, tam tranh Brendan Live Your Dream

Kính thưa anh Đẳng, 

Bài toán đố tìm địa chỉ thật ra là một bài toán số học (number theory). Người nào học chuyên môn toán ở đại học thường phải lấy ít nhất một lớp về môn này, thường thường từ năm thứ hai trở về sau. Các ngành kỹ thuật (engineering) hoặc khoa học (vật lý, hóa học, ...) thì không dạy môn này, trừ khi sinh viên muốn học thêm về toán. Nói cho cùng thì trong những lớp đó họ cũng chỉ dạy sâu và trừu tượng hơn về những kiến thức mà chúng ta đã học từ tiểu học. Bây giờ xin mạn phép trình bày kỹ càng hơn về bài toán này, từ lịch sử của nó trở đi. Sau khi trình bày xong vấn đề thì chúng ta tự nhiên thấy bài toán dễ hẳn đi 😂 

Nói thí dụ, chia 6 cho 5, ta biết số dư là 1. Bây giờ cộng thêm vào hoặc trừ bớt ra khỏi số 6 bất cứ một bội số nào của 5 thì số dư trong phép tính chia cho 5 không thay đổi. Thí dụ 6+15=21 chia cho 5 vẫn dư 1. Nói một cách trừu tượng thì đây cũng tương tự như định vị một điểm trên một đường thẳng tính từ một điểm mốc nào đó khi ta biết vector đơn vị và tọa độ của điểm đó trên đường thẳng. Chúng ta ai cũng đã học cách làm chuyện này khi học hình học ở VN thời trung học. Nếu muốn định vị một điểm trên một mặt phẳng thì ta cần hai vector đơn vị vuông góc với nhau tương ứng với hai "tọa độ", nói thí dụ x và y.  Nếu muốn định vị một điểm trong một không gian ba chiều thì ta cần ba vector đơn vị vuông góc với nhau tương ứng với ba "tọa độ", nói thí dụ x, y và z.  Bây giờ quay trở lại bài toán nguyên thủy. Về mặt khái niệm thì số dư trong phép chia cho 5 chẳng qua cũng tương tự như "tọa độ" trên một "đường thẳng" mà thôi. Nếu ta biết số dư thì ta có thể tìm ra vô số đáp số, tất cả các đáp số đó hơn kém nhau bằng những bội số của 5.  Bây giờ họ cho ta ba số dư trong ba phép tính chia thì cũng như là họ cho ta ba "tọa độ" trong một không gian ba chiều nào đó và bắt ta định vị điểm đó. Nói về mặt khái niệm thì ta biết ta cần phải có ba "vector đơn vị" độc lập với nhau thì mới làm được chuyện đó. Muốn cho ba "vector đơn vị" đó hiện hữu (exist) thì cần phải có điều kiện là ba cơ số (thí du. như 5, 13, 17 trong đầu bài toán) phải "nguyên tố cùng nhau", tức là chúng không có một ước số chung nào khác hơn là 1. Như vậy bài toán này, về mặt khái niệm, chẳng qua chỉ là tổng quát hóa (extend) bài toán chia cho 5 dư 1, nhưng trong không gian ba chiều chứ không phải một chiều.  

Trong lớp toán về số học ở đại học thì họ dạy một định lý gọi là "Chinese Remainder Theorem", chữ remainder có nghĩa là số dư trong phép tính chia. "Chinese remainder theorem" là một định lý đương thời nhằm tổng quát hóa một bài toán đầu tiên được nêu ra bởi một người nước Ngô ở Trung Hoa vào cuối thời Xuân Thu, tên là Tôn Vũ (孙 武) , còn gọi là Tôn Tử. Trong sách Tôn Tử Toán Kinh ( 孫 子 算 經 ), chương thứ ba, có bài toán dịch nghĩa thì đại ý như sau "Có một số, nếu chia cho 3 dư 2, chia cho 5 dư 3, chia cho 7 dư 2. Số ấy là số nào?"  Đến cuối đời Tần, tướng của Lưu Bang là Hàn Tín (韩 信) dùng phương pháp này để đếm lính. Người đời sau đem phép giải bài toán làm ra bài thơ

Tam nhân đồng hành thất thập phi

Ngũ thụ mai hoa trấp nhất chi

Thất tử đoàn viên chính bán nguyệt

Trừ bách linh ngũ định vi kỳ 

Bài thơ hoàn toàn vô nghĩa, nhưng nhắc cho ta mấy con số. Câu đầu nhắc ta số 3 và 70, câu hai nhắc ta 5 và 21 (trấp nhất), câu ba nhắc ta 7 và 15 (chính bán nguyệt), câu chót nhắc ta số 105. Cứ lấy số dư trong phép chia cho 3 nhân với 70,  số dư trong phép chia cho 5 nhân với 21, số dư trong phép chia cho 7 nhân với 15. Cộng hết tất cả những con số đó thì ta tìm ra được một đáp số. Ngoài ra, cộng hoặc trừ đáp số đó với bất kỳ một bội số nào của 105 cũng ra một đáp số khác. Một đáp số của bài toán trong chương ba của Tôn Tử Toán Kinh là  (2 x 70) + (3 x 21)  + (2 x 15) = 233. Các số 23, 128, 338, ... cũng đều là đáp số.

Muốn hiểu rõ phương pháp tổng quát để giải bài toán của Tôn Tử nêu bên trên thì ta cần để ý rằng 21 chia đúng cho cả 3 lẫn 7 (với số dư là 0), 70 chia đúng cho cả 5 lẫn 7, và sau cùng là 15 chia đúng cho cả 3 lẫn 5. Mặt khác, 70 (bội số chung của 5 và 7) chia cho 3 dư 1, 21 (bội số chung của 3 và 7) chia cho 5 dư 1,và 15 (bội số chung của 3 và 5) chia cho 7 dư 1. Thêm một nhận xét nữa là nếu 21 chia 5 dư 1 thì 21r chia 5 phải dư r, nếu r là một số nguyên nhỏ hơn 5. Thí dụ 42 chia 5 dư 2, 63 chia 5 dư 3, vân vân. Đến đây thì ta vỗ trán la lên rằng ta đã tìm ra các "vector đơn vị", hoặc còn gọi là cơ số (basis number) cho phép chia cho 5.

Nói một cách rõ ràng hơn thì chuyện gì xảy ra khi ta làm tính chia 233/3?

233/3 = 2 (70/3) + 3 (21/3) + 2 (15/3)

Bởi vì 21 chia đúng cho 3, và 15 cũng chia đúng cho 3 nên 21/3 và 15/3 không ảnh hưởng gì đến số dư. Chỉ có 70 chia 3 dư 1 nên 2 x 70 chia 3 phải dư 2. Lý luận tương tự thì ta hiểu ngay ra nguyên tắc giải bài toán tìm địa chỉ với các số {5, 13, 17} thay vì {3, 5, 7}. Ta cần tìm một bội số chung của 13 và 17 (tức là một bội số của 221) sao cho số ấy chia cho 5 dư 1. Tình cờ là 13 x 17 = 221, chia 5 dư 1. Vậy là xong cơ số đầu tiên. Bây giờ ta lại tìm một bội số chung của 5 và 17 (tức là một bội số của 85) sao cho số ấy chia 13 dư 1. Ta biết 85 chia 13 dư 7,vậy thì 2x85 = 170 chia 13 phải dư 1. Đó là "vector đơn vị", hoặc là cơ số, thứ nhì mà ta cần. Lý luận tương tự thì cơ số thứ ba (bội số chung của 5 và 13, sao cho chia 17 dư 1) là 715.

Sau cùng, hễ cho bất kỳ số dư {p, q, r} nào trong phép chia cho {5, 13, 17}, một đáp số phải là 221p + 170q + 715r.  Một khi ta đã tìm ra một đáp số thì cứ cộng hoặc trừ một bội số chung của 5, 13 và 17 (tức là một bội số của 1105) vào đấy thì sẽ ra các đáp số khác. Đầu bài toán ban đầu cho  {p, q, r} = {1, 10, 8}

x = (221 x 1) + (170 x 10) + (715 x 8) = 7641 

Số nhà là một số nhỏ hơn 2000, do đó số nhà phải là 7641 - (6 x 1105) = 1011. 

Trước khi chấm dứt câu chuyện, ta nhận thấy số 221 chia 5 dư 1, nhưng chia cho 13 và 17 thì dư 0. Có khác gì, về mặt khái niệm, như là một vector đơn vị trên trục x, có độ dài là 1 trên trục x, nhưng hình chiếu trên các trục y và z là 0 đâu? Đó là sự liên hệ dây mơ rễ má giữa "Chinese remainder theorem" với hình học trừu tượng (abstract geometry). Bây giờ cách giải đã rõ ràng, bài toán kể ra cũng không khó lắm.

Nếu không dùng phương pháp nêu trên mà dùng Excel hay các loại software khác để tính bằng máy thì cũng được. Tuy nhiên, nếu cứ mỗi lần phải thay đổi các con số  {p, q, r} mà lại phải lý luận số đầu số đuôi thì khó lắm. Chẳng hạn như thay vì {5, 13, 17}, ta dùng những cơ số nguyên tố khác như {17, 19, 23}, ngoại trừ cách dùng máy tính hoặc là phương pháp trình bày ở đây, các phương pháp khác sẽ nhức đầu lắm. 

Kính anh, 

Hoài

HCD: Cám ơn tất cả các bạn.

Bây giờ tới phiên tôi đố các bạn

“Khi tôi 12 tuổi, em gái tôi bằng một nửa tuổi tôi. Bây giờ tôi 24 tuổi, tuổi của em tôi là bao nhiêu?”

Tôi giải mất 3 giây, các bạn mất bao lâu.

-

Xin vui lòng góp ý với chủ quán ở địa chỉ huy017@juno.com

---

You received this message because you are subscribed to the Google Groups "Quán Ven Đường" group.

To unsubscribe from this group and stop receiving emails from it, send an email to QuanVenDuong+unsubscribe@googlegroups.com.

To view this discussion on the web visit https://groups.google.com/d/msgid/QuanVenDuong/00d601d86a02%2429b9f040%247d2dd0c0%24%40gmail.com.

--

Để gửi thư, quý bạn dùng địa chỉ email:

ban-van-tho-chinhtri@googlegroups.com

---

You received this message because you are subscribed to the Google Groups "Ban Van Tho Chinh Tri" group.

To unsubscribe from this group and stop receiving emails from it, send an email to ban-van-tho-chinhtri+unsubscribe@googlegroups.com.

To view this discussion on the web visit https://groups.google.com/d/msgid/ban-van-tho-chinhtri/008a01d86a43%24a9bb3100%24fd319300%24%40gmail.com.

Download all attachments as a zip file

• Tra loi cau do Han Tin Diem Binh.doc

  331.5kB
• Home address.xls

  27.5kB